\documentclass[a4paper,10pt]{report}\input{../0.Préambule/Préambule_cours_prof}\input{0_Préambule_Repré1}\begin{document}

\newpage
\setcounter{chapter}{15}
\chapter{Encodage des nombres décimaux}

\section{Notation binaire des décimaux}

\subsection{Écriture de position}

Comme la notation décimale, la notation binaire permet aussi de représenter les nombres à virgule.

\begin{enumerate}
\item[•]\textbf{En notation décimale}, les chiffres de gauche représentent les unités, les dizaines et ainsi de soute et ceux à droite de la virgule, les dixièmes, les centièmes, etc ...

\begin{center}
$1 \quad \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad , \quad 5 \quad 6 \quad 7$

\vspace{1cm}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{cp{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}}
un millier & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill \\
$1 \times 10^3$ & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill \\
\end{tabular}
\end{center}

\item[•]\textbf{En notation binaire}, les chiffres de droites représentent des demis, des quarts, des huitièmes, etc ...

\begin{center}
$1 \quad \quad 1 \quad 0 \quad 1 \quad , \quad 0 \quad 1 \quad 1$

\vspace{1cm}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{cp{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}}
huit & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill \\
$1 \times 2^3$ & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\begin{ex}
Trouvons les nombres dont la représentation en binaire est :

\begin{enumerate}
\begin{tabular}{m{7cm}cm{7cm}}
\item $1001,1011$ \dotfill & &
\item $10101,011101$ \dotfill\\
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsection{De l'écriture décimale à la notation binaire}

\begin{ex}
Conversion de $12,6875$ en binaire

\begin{enumerate}
\item[•] Conversion de $12$ donne $(1100)_2$
\item[•] On effectue successivement des multiplications par $2$ de la partie décimale, on conserve les parties entières :

\begin{tabular}{lllll}
0,6875 & $\times 2$ & =1,375 & 1 + & 0,375\\
0,375 & $\times 2$ & =0,75 & 0 + & 0,75\\
0,75 & $\times 2$ & =1,5 & 1 + & 0,5\\
0,5 & $\times 2$ & =1,0 & 1 + & 0\\
\end{tabular}

Donc la conversion de $0,6875$ en binaire est $(0,1011)_2$.

\item[•] La représentation de $12,6875$ en binaire est $(1100,1011)_2$
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}
Convertissons les nombres suivant en binaire:

\begin{enumerate}
\begin{tabular}{m{7cm}cm{7cm}}
\item $7,09375$ \dotfill & &
\item $13,325$ \dotfill\\
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{ex}

\section{Représentation des décimaux}

\subsection{Notation scientifique}

\begin{enumerate}
\item[•]\textbf{En notation décimale}, elle consiste à exprimer le nombre sous la forme $\pm a \times 10^n$ ou $\pm$ est appelé signe, $a$ est un nombre décimal de l'intervalle $[1;10[$ appelé mantisse (ou significande) et $n$ est un entier relatif appelé exposant.

\begin{center}
\begin{tabular}{m{7cm}cm{7cm}}
\item $-105,745 =$ \dotfill & &
\item $0,0745 =$ \dotfill\\
\end{tabular}
\end{center}

\item[•]\textbf{En notation binaire}, tout nombre s'exprime sous la forme $\pm m \times 2^p$ ou $\pm$ est appelé signe, $m$ est un nombre décimal de l'intervalle $[(1)_2;(10)_2[$ appelé mantisse et $p$ est un entier relatif appelé exposant.

\begin{center}
\begin{tabular}{m{7cm}cm{7cm}}
\item $1011,0111101 =$ \dotfill & &
\item $-0,0000001101 =$ \dotfill\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{Représentation des nombres à virgule en binaire sur $n$ bits}

\begin{meth}
On utilise la notation scientifique en binaire $\pm$ $m \times 2^p$.

\noindent Pour une représentation sur $32$ bits,
\begin{enumerate}
\item[•] le bit de poids fort (à gauche) donne le signe de $0$ pour positif et $1$ pour négatif.
\item[•] les $8$ bits suivants pour l'exposant, on représente l'entier relatif $p$ par $p+127$ (avec $p<128$).
\item[•] les $23$ bits suivants pour partie après la virgule de la mantisse.
\end{enumerate}
\end{meth}

\begin{ex}
La représentation en binaire sur $32$ bits de $1011,0111101$ est :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\cellcolor{lightgray}{}&\cellcolor{lightgray}{}&\cellcolor{lightgray}{}&\cellcolor{lightgray}{}&\cellcolor{lightgray}{}&\cellcolor{lightgray}{}&\cellcolor{lightgray}{}&\cellcolor{lightgray}{}&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\noindent et celle de $-0,0000001101$ est :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\cellcolor{lightgray}{}&\cellcolor{lightgray}{}&\cellcolor{lightgray}{}&\cellcolor{lightgray}{}&\cellcolor{lightgray}{}&\cellcolor{lightgray}{}&\cellcolor{lightgray}{}&\cellcolor{lightgray}{}&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{ex}

\begin{ex}
Trouvons les nombres décimaux représentés par :
\begin{center}
\begin{tabular}{m{7cm}m{7cm}}
\item $110100011010010011110000011100000$ &\dotfill\\
&\\
\item $00100001111010011100101011000000$ &\dotfill\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{ex}

\paragraph{Par convention :}

\begin{enumerate}
\item[•] Il y a deux zéro, un positif et un négatif : $\pm \quad 00000000 \quad 000000000000000000000$
\item[•] L'infini est codé par : $\pm \quad 11111111 \quad 000000000000000000000$
\item[•] NaN : not a Number : $\pm \quad 11111111 \quad 010000000000000000000$
\end{enumerate}

\begin{exer1}

\vspace{2mm}
\begin{enumerate}[font=\color{exer1}]
\item Comment est représenté l'entier $7$ ? et le nombre à virgule $7,0$ ?
\item Sur $32$ bits, quel est le plus grand nombre possible ? le plus petit ? le plus petit positif ?
\item Sur un représentation sur $64$ bits ($1$ pour le signe, $11$ pour l'exposant ($n+1023$) et $52$ pour la mantisse)
\begin{enumerate}
\item Comment est représenté le nombre $2^{-1022}$ (environ $2.225 \dots \times 10^{-308}$)
\item A combien de décimales environ correspondent $52$ chiffres binaires après la virgule ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exer1}

\end{document}